热电偶级联系统动态性能评估方法

摘要：为了在缺乏激励信号先验知识的情况下实现热电偶动态性能评估，提出一种由三只不同偶丝直径热电偶组成的级联式温度测试系统的时间常数评估方法。该方法基于总体最小二乘Tikhonov正则化算法对热电偶级联系统数学模型进行辨识及时间常数解算。对于热电偶偶丝直径较为接近的测试系统，基于奇异值分解进行正则化方法优化，可以避免热电偶信息矩阵共线性造成的时间常数病态估计，有效拓展了该方法的适用性。通过数值仿真进行了理论验证，并在一种气体温度动态校准装置中进行了实验验证，结果表明奇异值分解正则化时间常数估计方法相比总体最小二乘Tikhonov正则化算法和普通最小二乘算法，辨识精度分别至少提高了75%和3.5倍，证明了该方法的有效性。
0引言
　　热电偶成本低廉、现场适应性好，在工程领域应用广泛。但热电偶在动态温度测量时存在明显的滞后特性。为了保证动态温度测量的可靠性和正确性，需要对热电偶滞后特性进行评估，一般以时间常数进行量化表征。一般地，时间常数估计基于专用的动态校准装置实现。温度动态校准装置要求可以产生快速阶跃变化的激励信号，保证激励信号可溯源，并且保证校准介质条件与热电偶测试介质条件一致[5,6]。研制可靠的热电偶动态校准装置往往具有较大难度，而且难以保证热电偶校准和测试介质条件的一致性。为了解决上述问题，发展出一系列的时间常数现场原位估计方法。其中较为典型的是基于测量同一物理点的两支不同偶丝直径热电偶的动态温度响应信号，解算各热电偶时间常数的评估方法。该方法于1936年首次由Pfriem提出。Tagawaet.al.通过计算两个激励温度信号相关函数的最大值来计算时间常数。另外，Hung等，提出β型广义最小二乘估计方法，应用离散时间系统辨识方法对热电偶进行建模，然后通过模型参数解算时间常数。但是，当两只热电偶丝的直径较为接近，会造成时域响应接近共线性，由奇异矩阵求解得到的时间常数通常出现病态解，同时β型广义最小二乘估计方差随着噪声水平的增长而迅速增长，导致返回不合理的时间常数估计值。
本文针对热电偶级联系统信息矩阵共线性病态问题，提出一种差值级联动态
　　性能参数评估方法，基于总体最小二乘Tikhonov正则化算法评估测试系统模型参数，分析测试噪声对估计结果的影响，同时基于奇异值分解的Tikhonov正则化优化方法，扩展了级联系统时间常数评估方法的适用性。对热电偶时间常数估计方法做出了有益探索。
1动态性能评估方法原理
1.1热电偶级联系统组成
　　级联系统由三支不同丝径热电偶组成，各热电偶尽可能靠近地安装于同一位置测试点，独立输出。若忽略安装位置偏差，可以认为在同一测试点各热电偶受环境或其它因素影响是一致的，通过热电偶响应之间差值计算，可以降低噪声对模型参数辨识精度的影响。热电偶输出信号的差值作为级联系统输出信号。热电偶一般可认为是一阶动态测试系统[18]，级联系统原理框图如图1所示。将三支热电偶温度响应值互求差值，并建立数学模型，通过对模型参数的辨识估计，可以得到各热电偶时间常数估计值。
 
　　将图1中热电偶响应信号和差值信号进行离散化：
 
 
　　将式(3)中矩阵A称为热电偶级联系统的信息矩阵，向量Y称为观测值向量,向量X称为待辨识参数向量。信息矩阵A列向量为各热电偶响应信号的差值序列，可认为其中不含偏置误差，偏置误差仅存在于观测值向量中，那么基于总体最小二乘法得到的参数估计值可以认为是无偏的。总体最小二乘解为：
 
　　式中：σn+1s+为增广矩阵[AY]的第n+1个奇异值，I为单位阵。
　　总体最小二乘求解过程是一个降正则化的过程，在求解中可能会出现病态或不稳定的结果。基于数理统计理论的观点，总体最小二乘在求解中可以通过减去1个系数误差的近似协方差阵σ(n+I)来达到减小矩阵ATA中偏差的效果，进而得到相对稳定的解[19]。在不等式约束条件下，建立Lagrange多项式：
 
　　式中：λ为Lagrange因子，δ为待辨识参数估计误差，L为定义范数的矩阵。
　　通过式(5)求解参数X。当δ足够小时，X满足如下目标函数[20]：
 
　　基于式(10)可以得到辨识参数估计值，进一步解算可得热电偶时间常数估计值。
2测量噪声对辨识精度影响的验证分析
　　由于测量噪声对于系统辨识是否能够返回无偏估计具有重要影响，因此，需要对上述总体最小二乘正则化模型分析方法进行理论验证。分析正弦激励信号和阶跃激励信号分别对于恒定时间常数和变化时间常数级联系统的影响。其中，正弦信号波动频率设为0.1Hz。级联系统时间常数分别设为τ1=0.0238s、τ2=0.38s、τ3=0.9578s。为了说明测量噪声水平对于算法结果的影响，定义信号噪声水平K：
 
　　式中：QRMSE表示噪声方差值，PRMSE表示信号均方差。对于给定的噪声水平，算法性能通过时间常数相对误差进行评价：
 
2.1测量噪声对恒定时间常数级联系统的影响
　　在级联系统响应信号加入零均值、等方差的高斯序列噪声，分析噪声水平对于各算法的性能影响。热电偶传递函数相当于单位增益的低通滤波器，同时加入的噪声是不相关的。仿真时间持续均为5s，采样频率为50Hz。在正弦激励信号和理想阶跃激励信号情况下，分别运用TLS-Tikhonov算法对时间常数进行估计，时间常数残差点分布分别如图2和图3所示。
 
 
　　由图2，图3可以看出：在正弦和阶跃激励信号条件下，时间常数的残差均在±3×10-3范围内，具有较高的辨识精度。为了进一步对TLS-Tikhonov算法性能进行评估，将普通最小二乘法(leastsquares,LS)估计与TLS-Tikhonov算法估计随噪声水平的变化情况分别在正弦与阶跃激励信号条件下进行比较，如图4和图5所示。

　　由图4和图5可以看出，在K=0时，TLS-Tikhonov算法与LS算法差异相对较小，随噪声水平的增加，TLS-Tikhonov算法时间常数估计精度明显优于LS算法。这是由于LS算法的信息矩阵A存在偏置误差，从而造成估计值有偏，且与噪声呈正相关关系。因此，对于有测量噪声影响的恒定时间常数级联系统，TLS-Tikhonov算法具有较高的辨识精度。
2.2测量噪声对变化时间常数级联系统的影响
　　假设级联系统热电偶时间常数变化规律如下：
 
　　式中：τ1(0)=0.0238s，τ2t(0)=0.38s，3t(0)=0.9578s。
　　正弦与阶跃激励信号情况下，K=2测量噪声水平对时间常数误差影响曲线分别如图6，图7所示：
 
　　如图6和图7所示，对于正弦激励信号情况：在各误差曲线初始阶段，时间常数误差值随着时间常数增大有减小趋势，且变化不同步。其原因在于，随着时间常数逐渐增大，各热电偶温度响应序列相关系数逐渐达到最小值，但是由于其变化过程不同步，导致各热电偶时间常数辨识结果达到最小值过程不同步；对于阶跃激励信号情况：基于TLS-Tikhonov算法，时间常数τ1估计结果很快发散，且时间常数τ2和τ3辨识精度也较差。这是由于阶跃激励信号信息矩阵A存在突变量值，产生了较大的矩阵条件数。按照陈希孺等[22]给出的检验标准，cond(A)<100，认为无病态；100<cond(A)<1000，病态中等程度或较强；cond(A)>1000，有严重病态性。时间常数τ1条件数变化趋势如图8所示：
 
　　当τ1＞0.1s，法矩阵即存在严重病态性，利用最小二乘类回归方法必然估计值不收敛，因此图7中时间常数τ1相较于τ2，τ3发散较快。因此，对于有测量噪声影响的变化时间常数级联系统，TLS-Tikhonov算法的辨识能力并不理想，需要进行算法的改进。
2.3基于奇异值分解的Tikhonov正则化优化方法
　　当级联系统中各热电偶偶丝直径趋于一致时，级联系统信息矩阵A各列向量之间会出现严重互相关情况，从而导致热电偶时间常数估计病态严重。本文利用Tikhonov正则化方法，增加全部或部分参数加权平方和极小的条件，克服不适定性[23]，从而使解唯一且稳定。即用相邻的适定问题的解去逼近原问题的解，并利用奇异值分解（singularvaluedecomposition,SVD）对于求广义逆的便利性，对病态矩阵参数进行估计。构造准则函数：
 
　　用是将不适定问题转化为适定问题；a是正则化参数，起着平衡aM右边两项的作用。随着稳定泛函W(X)的不同，有不同的准则函数；同时正则化参数a选择也十分重要，稳定泛函W(X)一般选为：
 
　　对于热电偶级联系统信息矩阵A各列向量中，不存在复共线性的，用矩阵A1表示，其余列向量用矩阵A2表示，即：
  
　　正则化参数使用L曲线法计算：以‖AX−Y‖p为横坐标，以‖X‖H为纵坐标画图，得到一条拟合曲线，曲线上曲率最大的那个点对应的值作为所求参数估计值[24]。令¢=log‖Y−AX(ɑ)‖，θ=log‖X(ɑ)，则曲线的曲率为参数ɑ的函数，有：
 
　　基于理想阶跃激励信号，在追求参数解的模极小和残差的模极小的过程中，强调的是‖AX−L‖P和‖HX‖H之间的平衡，而这个平衡点由ɑ来决定。
3参数辨识算法的验证分析
3.1仿真验证分析
　　为评估阶跃激励信号条件下，测量噪声对变化时间常数级联系统的影响，将LS、TLS-Tikhonov、Tikhonov-SVD算法对式(13)所述时间常数估计值偏差列入表1。
 
　　如表1所示结果，利用Tikhonov-SVD方法时间常数估计值与真值偏差相较于LS算法与TLS-Tikhonov算法有明显的改善。另一个角度说明，通过Tikhonov-SVD方法，可以拓宽级联系统关于热电偶丝物理条件一致性的使用条件限制，但是随着噪声水平的提高，Tikhonov-SVD算法辨识估计结果，以τ2估计结果为例，偏差呈上升趋势。
3.2实验验证分析
　　算法实验验证是基于激励信号先验知识可获取的动态校准装置上实现的，依据动态校准装置激励信号溯源评估结果，可以得到时间常数的可靠评估结果，并以此作为算法性能的评价依据。验证试验采用的动态校准装置如图9所示，装置组成部分包括：高压段腔体、低压段腔体、真空泵、轴流风机、电加热器、铝箔膜片、保温隔热装置[25]。
 
　　热电偶级联系统由三支K型热电偶组成，热电偶偶丝直径分别为d1=0.02mm、d2=0.3mm、d3=0.8mm。为了保证级联系统热电偶对同一物理点进行测试，将三支热电偶封装于同一壳体内，封装结构如图10所示。
 
　　热电偶级联系统安装于低压段腔体，为了使腔体内流体速度恒定在腔体出口处安装节流喷嘴。高压段腔体为一密闭回型腔体，在腔体内部安装了电加热器和内置轴流风机，通过轴流风机和电加热器的综合作用，实现腔体内气体循环加热，从而在腔体内产生温度均匀的高温气体。为了保证加热效率和防护安全，在高压段外裹覆有保温绝热层。
　　首先对高压段腔体加压至额定值，运行轴流风机为低压段腔体内气体循环流动提供动力。通过在高压段腔体内均匀分布的电加热器对腔内气体加热，当温度、压力达到额定值，开启真空泵，使得低压段腔体出口处的铝箔膜片自然破裂，产生阶跃温度激励信号，作用于热电偶级联系统上，为了使高温气体持续对热电偶产生温度激励，在开启真空泵的同时打开空气压缩机，保持低压段腔体内高压，记录传感器响应情况，响应结果如图11所示，整个实验持续时间42s，采样频率为100Hz。
 
　　基于动态校准装置激励信号和级联系统响应信号，通过频域建模法可以对时间常数进行可靠估计，并以此作为时间常数的评价基准，LS、TLS-Tikhonov、Tikhonov-SVD算法对时间常数估计结果表2所示。
 
　　如表2所示，LS算法由于受到测量噪声影响较为严重，τ1、τ2返回值为非合理值；TLS-Tikhonov算法性能与时间常数的差异性条件与热电偶响应误差等有密切关系，而实验中热电偶丝直径d1与d2较为接近，所得估计结果由于信息矩阵共线性病态严重，时间常数估计值τ1返回值为非合理值；Tikhonov-SVD算法时间常数估计结果与频域建模评估结果吻合程度较高。以τ3返回值为考核对象，Tikhonov-SVD算法时间常数估计相对误差相比TLS-Tikhonov算法和LS算法，辨识精度分别提高了75%和3.5倍。
因此，通过Tikhonov-SVD算法对时间常数进行估计，可以得到较为理想的估计结果。
4结论
　　本文提出了基于TLS-Tikhonov算法的热电偶时间常数估计方法。通过建立级联系统数学模型，由模型参数辨识方法实现时间常数估计。文中运用TLS-Tikhonov算法来处理模型信息矩阵受到噪声污染的情况，同时研究噪声水平分别对恒定时间常数及变化时间常数估计的精度影响。由于级联系统信息矩阵共线性的问题，时间常数估计出现严重病态结果，同时由于测量噪声的存在，避免产生时间常数相似性造成病态估计问题的条件将更为苛刻。基于Tikhonov-SVD方法可以对上述问题进行有效改善。通过数值仿真和动态校准实验，分别对LS方法、TLS-Tikhonov方法和Tikhonov-SVD方法的时间常数评估结果进行评价，结果表明，TLS-Tikhonov方法对于响应信号受到噪声污染的情况比LS方法具有更高的辨识精度，Tikhonov-SVD方法对于热电偶物理特性相近造成的信息矩阵共线性情况比TLS-Tikhonov方法具有更高的辨识精度。因此，在实践中热电偶时间常数评估Tikhonov-SVD方法具有更好的适用性。